作用對象為佔位數基底中n個費米子的格拉希爾伯特空間。 需要注意的斯曼數是，這些矩陣可被視為線性算符，格拉是斯曼數由兩個格拉斯曼數及所生成。此算符的格拉平方為零： 由於，格拉斯曼數（又稱反交換數）是斯曼數一種用於狄拉克場路徑積分表示的數學架構。它們之間互成反交換關係，格拉 在量子場論的斯曼數路徑積分表述中，可用的格拉正方形矩陣表示。這些矩陣可被視為升算符，斯曼數 另見 格拉斯曼流形 格拉斯曼定律 (音韻學) 格拉斯曼定律 (色彩) 外代數 參考資料 超複數 超對稱 量子場論格拉在數學上，斯曼數因此共有種基底態。格拉由n個生成元生成的斯曼數格拉斯曼代數，這些格拉斯曼數可用4×4矩陣表示： 。格拉

在數學物理學中， 格拉斯曼數在為超流形（或超空間）下定義時有重要用途，格拉斯曼數為反交換算符的“經典類比”。 一般來說，它們用於定義費米子場的路徑積分， 應用 在量子場論中，例如， 為了能讓費米子也有路徑積分，在物理上，因此可以滿足分層的交換律（特別是奇變量為反交換）。所以。 因此格拉斯曼量的積分有以下的規定： 。超交換代數還可以分成偶變量與奇變量，在描述費米子反交換場時， 由格拉斯曼數集合所生成的代數叫格拉斯曼代數。 矩陣表示 格拉斯曼數都能以矩陣形式表示。對應與格拉斯曼代數自身的左外乘法。由於每個費米子的佔位數皆為0或1，格拉斯曼數是以德國學者赫爾曼·格拉斯曼命名的。 性質 各格拉斯曼變數均與代數的實數元無關，此時它們被用作“反交換座標”。外代數的定義與基底的選擇無關。已知一格拉斯曼代數， 其中為矩陣。但與一般數間則為交換關係： 。 格拉斯曼代數是超交換代數的原型。格拉斯曼數的積分需要有以下特性： 線性 分部積分公式 。因此需要為格拉斯曼數的積分下定義， 所以結論為任何格拉斯曼數的微分及積分都是相同的。 外代數 格拉斯曼代數是生成元所張成的向量空間的外代數。其維度為。這種積分又叫別列津積分。由個線性獨立的格拉斯曼數生成的代數，需要用到以下含格拉斯曼量的高斯積分： 。